【数学クイズ】赤いタイルと青いタイル、全部で何枚？

大きな正方形の一辺に何枚並んでいるか、仮に決めてみましょう。

一辺が6枚なら、内側の青い正方形は一辺何枚になるでしょう？外側の赤を、左右から1枚ずつ除いて考えてみてください👀

答えは、81枚です。

一辺に9枚ずつ並んでいます。青は49枚、赤は32枚なので、青のほうが17枚多くなります。

いきなり81枚と聞いても、「どうやって見つけたの？」と思いますよね。

まずは、一辺の枚数を仮に決めて、順番に確かめてみましょう😊

① 青いタイルの数え方

たとえば、大きな正方形の一辺に6枚並んでいるとします。

左右の端は赤いタイルなので、内側の青は6−2＝4枚並びます。上下にも赤が1列ずつあるので、青い部分は縦も4枚です。

つまり、青は4×4＝16枚です。

一辺の枚数から2を引くのは、両端の赤を1枚ずつ除くからですね。

② 赤いタイルの数え方

全部の枚数から、青い枚数を引けば、赤い枚数がわかります。

一辺が6枚なら、全部で6×6＝36枚。青は16枚なので、赤は36−16＝20枚です。

この場合は、青が16枚、赤が20枚。赤のほうが4枚多く、問題の条件には合いません。

③ 一辺の枚数を変えてみましょう

同じ方法で、一辺の枚数を変えて計算した結果を並べます。

一辺が9枚のときに、初めて「青が17枚多い」となりました！

一辺が1枚や2枚では、内側に青いタイルを置けません。だから、表は3枚から始めています。

④ 図で確認しましょう

大きな正方形は、一辺に9枚ずつ並んでいます。

内側の青い正方形は、左右と上下の赤を除くので、一辺が9−2＝7枚です。

• 青：7×7＝49枚
• 全部：9×9＝81枚
• 赤：81−49＝32枚

差を確かめると、49−32＝17枚。問題の条件にぴったり合っていますね。

⑤ もっと大きい正方形にも、答えはある？

表では、一辺10枚のときは青が28枚多くなっています。さらに大きくしたら、また17枚差に戻るのでしょうか？

赤いタイルは、上と下の列、そして左右の列に分けて数えられます。四隅を2回数えないように、左右は四隅を除きます。

一辺9枚なら、上9枚＋下9枚＋左7枚＋右7枚＝32枚。一辺10枚なら、上10枚＋下10枚＋左8枚＋右8枚＝36枚です。

つまり、一辺を1枚増やすたびに、赤は4枚ずつ増えます。

一方、青は一辺7枚から8枚になると、49枚から64枚へ、15枚増えます。その次は8枚から9枚で、64枚から81枚へ、17枚増えます。

正方形を一回り大きくするとき、新しく足す青は「新しい1列」と「新しい1行」です。正方形が大きいほど、この列と行も長くなるので、増える青の枚数はさらに多くなります。

9枚より大きくすると、赤が4枚増える間に青は15枚以上増え続けます。だから、青と赤の差は17枚より大きくなるばかりで、17枚には戻りません。

小さい場合も表で確かめたので、条件に合うのは一辺9枚だけ。答えは全部で81枚に決まります✨

間違えやすいところ：赤を9×4で数えない

4辺にそれぞれ9枚あるからといって、9×4＝36枚とすると、四隅をそれぞれ2回数えてしまいます。

四隅の4枚は1回ずつ余分に数えているので、36−4＝32枚です。上と下を9枚ずつ、左右を7枚ずつと数えても、同じ32枚になります。