【数学クイズ】名前のない5枚のメモ、最高得点は？

5枚のメモを全部足すと、一人ひとりの点数は何回ずつ含まれるでしょう？

ある1人に注目して、「自分を除いたメモ」と「ほかの人を除いたメモ」を分けて考えてみましょう👀

答えは、19点です。

5人全員の合計は72点。4人の合計がいちばん小さい53点のメモは、最高得点の人を除いたものなので、72−53＝19点です。

名前がわからなくても、まずは5人全員の合計点を探してみましょう😊

① 5枚のメモを全部足してみる

53＋55＋58＋59＋63＝288点です。

ただし、この288点は、5人全員の点数を1回ずつ足したものではありません。同じ人の点数を、何回か重ねて足しています。

何回ずつなのかを確かめましょう。

② なぜ、一人の点数が4回ずつ出てくるの？

5人を、仮にAさん・Bさん・Cさん・Dさん・Eさんと呼びます。

ここでは「誰を除いたか」でメモを並べ直します。問題の①〜⑤と、A〜Eが対応しているという意味ではありません。

まず、Aさんの点数だけに注目します。

• Aさんを除いたメモ：Aさんの点数は入っていません。
• Bさんを除いたメモ：Aさんの点数が入っています。
• Cさんを除いたメモ：Aさんの点数が入っています。
• Dさんを除いたメモ：Aさんの点数が入っています。
• Eさんを除いたメモ：Aさんの点数が入っています。

Aさんの点数が入っているのは、5枚のうち4枚ですね。

Bさんも同じです。自分を除いた1枚には入っていませんが、ほかの4枚には入っています。Cさん、Dさん、Eさんも同じことになります。

図の列を縦に見てみましょう。どの人の列にも、点数を足す印が4つずつあります。

つまり、5枚のメモを全部足した288点には、5人全員の点数が、それぞれ4回ずつ含まれています。

③ 5人全員の合計点を求める

全員の点数を4回ずつ足した結果が288点なので、1回ずつに戻すには4で割ります。

288÷4＝72点

これで、5人全員の合計は72点だとわかりました。

メモは5枚ありますが、5で割るのではありません。一人の点数を4回ずつ足しているから、4で割るのですね。

④ どのメモが、いちばん高得点の人を除いたもの？

全員の合計は、いつも同じ72点です。

そこから1人の点数を除くと、残った4人の合計になります。

たとえば、10点の人を除くと72−10＝62点。20点の人を除くと72−20＝52点です。

高い点数を除くほど、残った4人の合計は小さくなります。

だから、いちばん高得点の人を除いたメモは、4人の合計がいちばん小さい53点のメモです。

72−53＝19点

これが、求めたかった最高得点です✨

⑤ ほかの4人の点数も確かめよう

それぞれのメモを72点から引くと、そのメモで除かれた人の点数がわかります。

5人の点数は、19点・17点・14点・13点・9点です。

全部足すと、19＋17＋14＋13＋9＝72点。全員が20点満点の範囲に収まっています。

また、19点の人を除けば17＋14＋13＋9＝53点、9点の人を除けば19＋17＋14＋13＝63点となり、メモとも一致します。

誰がどの点数なのかはわかりませんが、いちばん高い点数が19点であることは、きちんと決まります。