【最高難度・数学クイズ】5回だけ曲がるロボット

最初の1歩は、右と上のどちらに進めるでしょう？最後の1歩も考えてみましょう。

同じ方向へ続けて進む部分を1つの「まとまり」として見ると、5回曲がる道順を整理できます👀

答えは、50通りです。

右へ進む3つのまとまりを10通りに分け、それぞれで対角線を越えない上向きの進み方を数えると、合計50通りになります。

道順を1本ずつ思いつくままに描くと、数え忘れたり、同じ道を2回数えたりしそうですね。

そこで、曲がる場所で道順を区切って、順番に場合分けしていきましょう😊

① 最初は右、最後は上になる

スタートからいきなり上へ進むと、対角線より上側に出てしまいます。だから、最初は必ず右です。

最後の1歩を右にするには、その直前に「右へ5マス、上へ6マス」の位置にいなければなりません。でも、その位置も対角線より上側です。

だから、最後は必ず上になります。

② 5回曲がると、6つのまとまりができる

曲がるたびに、右と上が入れ替わります。最初が右で、5回曲がると、次の並びになります。

右 → 上 → 右 → 上 → 右 → 上

矢印のつなぎ目は5か所。右向きが3まとまり、上向きも3まとまりです。

それぞれのまとまりでは、少なくとも1マス進みます。0マスのまとまりを入れると、その場所では実際に曲がっていないことになるからです。

この例では、右の3まとまりが「2・2・2」、上の3まとまりも「2・2・2」です。

③ 右へ進む6マスを、3つに分ける

ゴールまでには、右へ合計6マス、上へ合計6マス進みます。

まず、右へ進む6マスを、3つのまとまりに分けましょう。すべて1以上にすると、次の10通りです。

最初を1マスにすると、残る5マスの分け方は「1と4」「2と3」「3と2」「4と1」の4通り。

最初を2マスにすると残る4マスを2つに分けて3通り、3マスなら2通り、4マスなら1通りです。最初を5マス以上にすると、残りを1マス以上ずつの2まとまりに分けられません。

4＋3＋2＋1＝10通りで、全部です。

④ 対角線を越えない条件を、数で確かめる

対角線上は、「ここまで右へ進んだ数」と「ここまで上へ進んだ数」が同じ位置です。

例えば、右へ2マス、上へ2マスなら対角線上。右へ2マス、上へ3マスだと、上側に出てしまいます。

つまり、いつでも「ここまで上へ進んだ数」が「ここまで右へ進んだ数」を越えなければよいのです。

右へ進んでいる間は、右の数が増えるので、この条件から外れることはありません。注意するのは、上へ進むときです。

上へ進んでいる間は上の数が増えていくので、それぞれの上向きのまとまりを進み終わった位置を確かめれば、その途中も含めて判断できます。

⑤ 右が「2・2・2」の場合を、詳しく数える

この場合、道順は次の形です。

右2 → 上○ → 右2 → 上○ → 右2 → 上○

最初の上向きのまとまりを進むとき、右には2マスしか進んでいません。だから、最初の上は1マスか2マスです。

2番目の上向きのまとまりまでには、右へ2＋2＝4マス進んでいます。だから、最初と2番目の上を合わせて4マスまでなら大丈夫です。

最後の上向きのまとまりの前には、すでに右へ6マス進んでいます。上は残りを進めば6マスでゴールになるので、ここでは対角線を越えません。

上向きの3まとまりを順に並べると、次の5通りになります。

最初の上が1マスなら、2番目は1〜3マスの3通り。最初の上が2マスなら、2番目は1〜2マスの2通りです。最後の上は、合計が6になる残りの数に決まります。

したがって、この場合は3＋2＝5通りです。

例えば「1・4・1」だと、2番目の上を終えた時点で、上は合計5マス、右は合計4マス。対角線を越えてしまうため数えません。

⑥ 同じ方法で、残る場合も数える

右が「最初aマス・次bマス・最後cマス」と決まったら、上の3まとまりを次の条件で選びます。

• 最初の上は、最初の右のマス数aまで進めます。
• 最初と2番目の上の合計は、最初と2番目の右の合計a＋bまでです。
• 上の3まとまりは、それぞれ1マス以上で、合計6マスです。

例えば、右が「1・2・3」なら、最初の上は1マスだけ。2番目の上までの合計は3マスまでなので、上は「1・1・4」か「1・2・3」の2通りです。

以下の表では、「1・2・3」は3つのまとまりを順に1マス・2マス・3マス進むことを表します。右と上は、実際には交互に進みます。

全部足すと、

1＋2＋3＋4＋3＋5＋7＋6＋9＋10＝50通り

⑦ 数え漏れや重複はない？

条件に合う道順は、必ず「右→上→右→上→右→上」の6まとまりに分かれます。右へ進む数を読むと、最初の表の10通りのどれかに必ず入ります。

その中で、上へ進む3つの数が決まれば、道順も1本に決まります。右の分け方や上の分け方が違えば、道順も違います。

また、上の進み方は、それぞれ1マス以上・合計6マスのものから、対角線を越えない条件で全部選びました。

だから、抜けた道順も、二重に数えた道順もありません。答えは50通りです✨